DISTRIBUSI NORMAL

BAB I

PENDAHULUAN

1.1.  Latar Belakang Masalah

Dalam suatu penelitian biasanya dilakukan suatu kegiatan pengumpulan data.data-data ini di gunakan untuk mendukung penelitian.dimana hasil dari penelitian ini bergantung dari banyak dan ketepatan data-data yang berhasil di kumpulkan.unutk memudahkan penggunaan data-data itu dalam penelitian,data tersebut dapat diringkas atau disusun.

Salah satu distribusi frekuensi yang paling penting dalam statistika adalah distribusi normal. Distribusi normal berupa kurva berbentuk lonceng setangkup yang melebar tak berhingga pada kedua arah positif dan negatifnya. Penggunaanya sama dengan penggunaan kur va distribusi lainnya. Frekuensi relatif suatu variabel yang mengambil nilai antara dua titik pada sumbu datar. Tidak semua distribusi berbentuk lonceng setangkup merupakan distribusi normal.

Pada tahun 1733 DeMoivre menemukan persamaan matematika kurva normal yang  menjadi dasar  banyak  teori statistika induktif. Distribusi normal sering pula disebut Distribusi Gauss untuk menghormati Gauss (1777 – 1855), yang juga menemukan persamaannya waktu meneliti galat dalam pengukuran yang berulang- ulang mengenai bahan yang sama Sifat dari variabel kontinu berbeda dengan variabel diskrit.

Variabel kontinu mencakup semua bilangan, baik utuh maupun pecahan. Oleh karenanya tidak bisa dipisahkan satu nilai dengan nilai yang lain. Itulah sebabnya fungsi variabel rando m kontinu sering disebut fungsi kepadatan, karena tidak ada ruang kosong diantara dua nilai tertentu. Dengan kata lain sesungguhnya keberadaan satu buah angka dalam variabel kontinu jika ditinjau dari seluruh nilai adalah sangat kecil, bahkan mendekati nol. Karena itu tidak bisa dicari probabilitas satu buah nilai dalam variabel kontinu, tetapi yang dapat dilakukan adalah mencari probabilitas diantara dua buah nilai.

1.2. Perumusan Masalah

Adapun perumusan masalah dalam distribusi normal adalah sebagai berikut:

1.      Menghitung frekuensi harapan (fe)

2.      Menghitung nilai Z dan luas setiap kelas

3.      Menghitung pengujian kenormalan data

1.3. Tujuan Penelitian

Tujuan dari distribusi normal ini adalah

1.      Untuk mengetahui jumlah frekuensi harapan dari data yang diperoleh

2.      Untuk mengetahui jumlah nilai Z dan luas setiap datari kenormalan data  yang diperoleh

3.      Dapat mengetahui pengujian terhadap kenormalan data

1.4. Batasan masalah

Dalam percobaan ini batasan terletak pada setiap  data  pemakaian listrik terhadap 100 KK, adapun data yang diperoleh.

1.5. Langkah langkah pemecahan masalah

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1. Distribusi Normal

Distribusi probailitas kontinyu yang terpenting di bidang statistik adalah distribusi  Normal. Grafiknya disebut kurva normal, berbentuk lonceng lonceng setangkup yang melebar tak berhingga pada kedua arah positif dan negatifnya. Penggunaanya sama dengan penggunaan kur va distribusi lainnya. Frekuensi relatif suatu variabel yang mengambil nilai antara dua titik pada sumbu datar. Tidak semua distribusi berbentuk lonceng setangkup merupakan distribusi normal.

Pada tahun 1733 DeMoivre menemukan persamaan matematika kurva normal yang  menjadi dasar  banyak  teori statistika induktif. Distribusi normal sering pula disebut Distribusi Gauss untuk menghormati Gauss (1777 – 1855), yang juga menemukan persamaannya waktu meneliti galat dalam pengukuran yang berulang- ulang mengenai bahan yang sama. Sifat dari variabel kontinu berbeda dengan variabel diskrit.

Variabel kontinu mencakup semua bilangan, baik utuh maupun pecahan. Oleh karenanya tidak bisa dipisahkan satu nilai dengan nilai yang lain. Itulah sebabnya fungsi variabel random kontinu sering disebut fungsi kepadatan, karena tidak ada ruang kosong diantara dua nilai tertentu. Dengan kata lain sesungguhnya keberadaan satu buah angka dalam variabel kontinu jika ditinjau dari seluruh nilai adalah sangat kecil, bahkan mendekati nol. Karena itu tidak bisa dicari probabilitas satu buah nilai dalam variabel kontinu, tetapi yang dapat dilakukan adalah mencari probabilitas diantara dua buah nilai.

Distribusi kontinu mempunyai fungsi matematis tertentu. Jika fungsi matematis tersebut digambar, maka akan terbentuk kurva kepadatan dengan sifat sebagai berikut:

1.   Probabilitas nilai x dalam variabel tersebut terletak dalam rentang antara 0 dan 1

2.   Probabilitas total dari semua nilai x adalah sama dengan satu (sama dengan luas daerah di bawah kurva)

Fungsi kepadatan merupakan dasar untuk mencari nilai probabilitas di antara dua nilai variabel. Probabilitas di antara dua nilai adalah luas daerah di bawah kurva di antara dua nilai dibandingkan dengan luas daerah total di bawah kurva. Dapat dicari luas daerah tersebut dengan menggunakan integral tertentu (definit integral).

Persamaan matematika distribusi peluang peubah normal kontinu bergantung pada dua parameter μ dan σ yaitu rataan dan simpangan baku. Jadi fungsi padat x akan dinyatakan dengan n (x; μ, σ).

Begitu  μ  d an  σ  diketahui  maka selurruh  kurvra  normal  diketahui. Sebagai contoh, bila μ = 50 dan σ = 5, maka ordinat n(x ; 50, 5) dapat dengan mudah dihitung untuk berbagai harga x dan kurvanya dapat digambarkan. Kedua kurva bentuknya persis sama tapi titik tengahnya terletak di tempat yang berbeda di sepanjang sumbu datar.

Dengan memeriksa turunan pertama dan kedua dari n(x ; μ, σ) dapat diperoleh lima sifat kurva normal berikut :

1.      Modus,  titik  pada  sumbu  datar  yang  memberikan  maksimum  kurva, terdapat pada x = μ

2.      Kurva setangkup terhadap garis tegak yang melalui rataan μ

3.      Kurva mempunyai titik belok pada x = μ  σ, cekung dari bawah bila μ – σ < x < μ + σ, dan cekung dari atas untuk harga x lainnya

4.      Kedua ujung kurva normal mendekati asimtot sumbu datar bila harga x bergerak menjauhi μ baik ke kiri maupun ke kanan

5.       Seluruh luas di bawah kurva diatas sumbu datar sama dengan 1

Bila x menyatakan peubah acak distribusi maka P(x1 < x < x2) diberikan oleh daerah yang diarsir dengan garis yang turun dari kiri ke kanan. Jelas bahwa kedua daerah yang diarsir berlainan luasnya. Jadi, peluang yang berpadanan dengan masing- masing distribusi akan berlainan pula.

2.2 Transformasi Normal Standar

Distribusi normal adalah distribusi variabel kontinu dengan fungsi matematis adalah sebagai berikut:

dengan π = 3,14159… dan e = 2,71828

Selain beberapa konstanta yang tidak akan berubah nilainya (e, π), bentuk distribusi kurva normal ditentukan oleh tiga variabel, yaitu

x = nilai dari distribusi variabel

μ = mean dari nilai-nilai distribusi variabel

σ = standar deviasi dari nilai-nilai distribusi variabel

Para ahli statistik telah menyelidiki bentuk distribusi normal dengan mempelajari fungsi tersebut dan didapatkan sifat-sifat sebagai berikut:

a.       Simetris,  yaitu  mean  distribusi  terletak  di  tengah  dengan  luas  bagian sebelah kiri sama dengan bagian sebelah kanan (berbentuk lonceng) sehingga total daerah di bawah kurva sebelah kiri = total daerah di bawah kurva sebelah kanan = 0,5

b.      68% dari nilai variabel terletak dalam jarak  1σ (antara -1σ dan +1σ)

c.       95% dari nilai variabel terletak dalam jarak  1,96σ

d.      99% dari nilai variabel terletak dalam jarak  3σ

Selain menggunakan metode integral, perhitungan probababilitas distribusi normal  juga  bisa  menggunakan  tabel distribusi  normal,  yaitu  tabel  yang  memuat probabilitas dari berbagai nilai variabel dalam distribusi normal. Metode ini lebih praktis untuk keperluan penelitian. Yang menjadi masalah dalam penyusunan tabel tersebut adalah kenyataan bahwa terdapat banyak sekali macam distribusi normal, dipengaruhi oleh besarnya nilai mean (μ) dan standar deviasinya (σ).

Untuk mengatasi hal tersebut, maka para ahli hanya membuat satu buah tabel yaitu tabel untuk menghitung nilai-nilai probabilitas distribusi normal standar, sedangkan  jika akan  menghitung  probabilitas  nilai-nilai  variabel distribusi  normal yang tidak standar, tetap bisa menggunakan tabel distribusi normal standar tersebut dengan memakai metode konversi. Yang dimaksud distribusi normal standar adalah distribusi normal dengan sifat khusus, yaitu distribusi dengan normal yang mean = 0 dan standar deviasi = 1.

Untuk  mengatasi  kesulitan  dalam  menghitung  fungsi  padat  normal  maka dibuat tabel luas kurva normal sehingga memudahkan penggunaanya. Akan tetapi, tidak akan mungkin membuat tabel yang berlainan untuk setiap harga μ dan σ. Untunglah, seluruh pengamatan dengan setiap peubah acak normal x dapat ditransformasikan menjadi himpunan pengamatan baru suatu peubah acak normal z dengan rataan nol dan variansi 1. Hal ini dapat dikerjakan dengan transformasi.

z =

Bilamana x mendapat suatu harga x, harga z padanannya diberikan oleh z = (x – μ)/σ. Jadi, bila z berharga antara x = x1  dan x = x2, maka peubah acak z akan berharga z1  = (x1  – μ)/σ d an z2  = (x2  – μ)/σ. Distribusi peubah acak normal dengan rataan nol dan variansi 1 disebut distribusi normal baku.

Dengan  demikian  sepanjang  diketahui  rata-rata  dan  deviasi  standar,  maka dapat ditransformasi setiap distribusi nilai ke dalam nilai-nilai z. Bagaimanapun hanya nilai-nilai  z  dari  variabel-variabel  yang  berdistribusi  normal  yang  akan  dengan sendirinya berdistribusi normal. Dengan kata lain, transformasi ke dalam nilai-nilai z tidak mengubah bentuk awal dari distribusi itu

2.3  Tabel Distribusi Normal Standar

Berikut ini beberapa hal tentang distribusi normal standar

1.   Tabel distribusi normal standar disusun untuk menghitung probabilitas nilai-

nilai variabel normal standar, yaitu distribusi normal dengan mean nol (μ = 0)

d na

standar   d

ve aisi  satu   (σ   =   1 .)

Variabel   distribu is

normal  stand ra

menggunakan lambang z.